Question

在平面直角坐標系中，矩形OABC過原點O，且A（0，2）、C（6，0），∠AOC的平分線交AB于點D．
（1）直接寫出點B的坐標；
（2）如圖，點P從點O出發，以每秒個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿軸正方向移動．設移動時間為秒．

①當t為何值時，△OPQ的面積等于1；
②當t為何值時，△PQB為直角三角形；
（3）已知過O、P、Q三點的拋物線解析式為y=-（x-t）²+t（t＞0）．問是否存在某一時刻t，將△PQB繞某點旋轉180°后，三個對應頂點恰好都落在上述拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（6，2）；（2）1，當t=2或t=5+或t=5-；（3）t₁=，t₂=2．

試題分析：（1）根據題意知B點坐標為（6，2）；
（2）①可設t秒后△OPQ的面積等于1，則有P（，t）Q（2t，0），根據三角形的面積即可計算出t的值；
②要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，進而利用勾股定理分別分析得出PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，再分別就∠PQB=90°和∠PBQ=90°討論，求出符合題意的t值即可；
(3)存在這樣的t值，若將△PQB繞某點旋轉180°，三個對應頂點恰好都落在拋物線上，則旋轉中心為PQ中點，此時四邊形PBQB′為平行四邊形，根據平行四邊形的性質和對稱性可求出t的值．
試題解析：（1）根據題意知B點坐標為（6，2）；
(2)①設t秒后△OPQ的面積等于1，則有P（，t）Q（2t，0），則有：
×t×2t=1
解得：t=1或-1（舍去）
故1秒后△OPQ的面積等于1
②要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．
如圖1，作PG⊥OC于點G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°，
∵OP=t，∴OG=PG=t，
∴點P（t，t）
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根據勾股定理可得：PB²=（6-t）2+（2-t）2，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，
①若∠PQB=90°，則有PQ²+BQ²=PB²，
即：2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，
整理得：4t²-8t=0，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2，
∴t=2，
②若∠PBQ=90°，則有PB²+QB²=PQ²，
∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，
整理得：t²-10t+20=0，
解得：t=5±．
∴當t=2或t=5+或t=5-時，△PQB為直角三角形．
（3）存在這樣的t值，理由如下：
將△PQB繞某點旋轉180°，三個對應頂點恰好都落在拋物線上，
則旋轉中心為PQ中點，此時四邊形PBQB′為平行四邊形．
∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋轉中心坐標可表示為（t，t），
∵點B坐標為（6，2），∴點B′的坐標為（3t-6，t-2），
代入y=-（x-t）²+t，得：2t²-13t+18=0，
解得：t₁=，t₂=2．
考點: 二次函數綜合題．