Question

2．如圖，直線EF過邊長為5的正方形ABCD的頂點B，點A、C到直線EF的距離分別是3和4，則五邊形AEFCD的面積是37．

Answer 1

分析 根據正方形的性質得AB=BC，∠ABC=90°，再根據等角的余角相等得到∠EAB=∠FBC，則可根據“ASA”判斷△ABE≌△BCF，所以BE=CF=4，然后在Rt△ABE中理由勾股定理可計算出AB，然后可得正方形ABCD的面積，再計算出△AEB的面積，進而可得答案．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥BE，CF⊥BF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BFC}\\{∠EAB=∠FBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（ASA）
∴BE=CF=4，
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，
∴AB=5，
∴S_{正方形ABCD}=5×5=25，
∵S_△AEB=$\frac{1}{2}×3×4$=6，S_△CBF=6，
∴五邊形AEFCD的面積是25+6+6=37，
故答案為：37．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質以及勾股定理．關鍵是掌握判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．