Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，已知B（8，0），C（0，6），P（-3，3），現將一直角三角板EPF的直角頂點放在點P處，EP交y軸于N，FP交x軸于M，把△EPF繞點P旋轉：
（1）如圖甲，①求OM+ON的值；②求BM-CN的值；
（2）如圖乙，①求ON-OM的值；②求BM+CN的值．

Answer 1

分析 （1）如圖甲中，①作PG⊥x軸于G，PH⊥y軸于H，得到矩形PGOH，根據矩形的性質和全等三角形的判定定理證明△NPH≌△MPG，得到NH=MG，根據圖形的性質得到答案．②根據②BM-CN=OB+OM-（OC-ON）=OB-OC+OM+ON計算即可．
（2）如圖乙中，①作PG⊥x軸于G，PH⊥y軸于H，由△NPH≌△MPG，推出NH=MG，推出ON-OM=（OH+HN）-（GM-OG）=OG+OH=6．
②根據BM+CN=（OB-OM）+（ON-OC）=OB-OC+ON-OM計算即可．

解答 解：（1）如圖甲中，①作PG⊥x軸于G，PH⊥y軸于H，

∵四邊形PGOH為矩形，
∴∠HPG=90°，又∠EPF=90°，
∴∠NPH=∠MPG，
∵P（-3，3），
∴PH=PG=3，
在△NPH和△MPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NPH=∠MPG}\\{PH=PG}\\{∠NHP=∠MGP}\end{array}\right.$，
∴△NPH≌△MPG，
∴NH=MG，
∴OM+ON=（OG-GM）+（HN+OH）=OG+OH=6．
②BM-CN=OB+OM-（OC-ON）=OB-OC+OM+ON=8-6+6=8．

（2）如圖乙中，①作PG⊥x軸于G，PH⊥y軸于H，

∵四邊形PGOH為矩形，
∴∠HPG=90°，又∠EPF=90°，
∴∠NPH=∠MPG，
∵P（-3，3），
∴PH=PG=3，
在△NPH和△MPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NPH=∠MPG}\\{PH=PG}\\{∠NHP=∠MGP}\end{array}\right.$，
∴△NPH≌△MPG，
∴NH=MG，
∴ON-OM=（OH+HN）-（GM-OG）=OG+OH=6．
②BM+CN=（OB-OM）+（ON-OC）=OB-OC+ON-OM=8-6+6=8．

點評 本題考查的是坐標與圖形的性質、全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線、構造全等三角形，屬于中考常考題型．