Question

【題目】在平面直角坐標系中，點為原點，點的坐標為．如圖，正方形的頂點在軸的負半軸上，點在第二象限．現將正方形繞點順時針旋轉角得到正方形．

（）如圖，若， ，求直線的函數表達式．

（）若為銳角， ，當取得最小值時，求正方形的面積．

（）當正方形的頂點落在軸上時，直線與直線相交于點， 的其中兩邊之比能否為？若能，求出的坐標；若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線的函數表達式為；

（2）；

（3）能，點的坐標可為， ， ， ， ．

【解析】試題分析：（1）先判斷出△AEO為正三角形，再根據銳角三角函數求出OM即可；（2）判斷出當AE⊥OQ時，線段AE的長最小，用勾股定理計算即可；（3）由△OEP的其中兩邊之比為：1分三種情況進行計算即可．

試題解析：（）過點作于點， 與軸交點為，

∵， ，

∴為正三角形，

∴， ，

∴的坐標為，

∵，

∴，

在中，

，即，

∴，

∴點的坐標為．

設直線的函數表達式為，

把代入，

得，解得，

∴直線的函數表達式為．

（）當時，線段的長最小，

在中，

，

即，

由勾股定理得，

即，

解得，

，

此時， ．

（）能，

∵四邊形是正方形，

∴，

，

∴是等腰直角三角形，

①當與重合時， 是等腰直角三角形（如圖）

∴，

在中， ，

∴，

∴，

∴坐標為．

當減小正方形的邊長時，點在邊上，

的其中兩邊之比不可能為，

當增加正方形的邊長時，存在（如圖）

和（如圖）兩種情況．

②如圖所示，當時，

∴，

∴，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，即．

在中，

∵，

∴為等腰直角三角形，

∵，

，

即．

，

此時點的坐標為．

③如圖所示，當時，過作軸于點，

延長交軸于點．

∴，

，

∴是等腰直角三角形，

∴，

設正方形邊長為， ，

在中，由勾股定理得，

又∵，

，

在中，由勾股定理得，

，即，

∴，得，

，即．

∵，

∴，

又∵，

∴，

，

∴，

，

即，

又∵在中， ，

∴, ．

∵是等腰直角三角形，

∴，

則，

此時點的坐標為．

④如圖所示，當與重合時， 是等腰直角三角形，

，

即滿足條件，此時點的坐標為，

在圖的基礎上，當正方形的邊長減小時，

的其中兩邊之比不可能為，

當正方形的邊長增加時，存在（圖）

⑤如圖所示，當時，過作軸于點，

記直線交軸于點，

設正方形的邊長為， ，則，

在中，由勾股定理得，

在中，由勾股定理得，

∵，

即，

得，

，

在中，

，

是等腰直角三角形，

，則，

四邊形是正方形，

∴即，

又，

∴，

，即，

則，

∴是等腰直角三角形，

∴，解得，

即．

且，

∴為等腰直角三角形，∴，

，此時點的坐標為，

綜上所述，點的坐標可為， ， ， ， ．