Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝8，點H是直線AB邊上的一個點，連接DH交直線CB的干點E，交直線AC于點F，連接BF．

（1）如圖①，點H在AB邊上，若四邊形ABCD是正方形，求證：△ADF≌△ABF；

（2）在（1）的條件下，若△BHF為等腰三角形，求HF的長；

（3）如圖②，若tan∠ADH＝，是否存在點H，使得△BHF為等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）8﹣；（3）存在，詳見解析．

【解析】

（1）根據SAS證明三角形全等即可．

（2）想辦法證明∠ADH=30°，求出AH即可解決問題．

（3）如圖②中，可以假設AH=4k，AD=3k，DH=5k，因為△BHF是等腰三角形，∠BHF是鈍角，推出HF=BH，設BH=HF=x，構建方程組解決問題即可．

（1）證明：如圖①中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠FAB＝∠FAD＝45°，

∵AF＝AF，

∴△ADF≌△ABF（SAS）．

（2）解：如圖①中，

∵∠BHF＞∠HAD，

∴∠BHF是鈍角，

∵△BHF是等腰三角形，

∴BH＝FH，

∴∠HBF＝∠BFH，

∵△ADF≌△ABF，

∴∠ADF＝∠ABF，

∵∠AHD＝∠HBF+∠BFH，

∴∠AHD＝2∠ADH，

∵∠AHD+∠ADH＝90°，

∴∠ADH＝30°，

∴AH＝ADtan30°＝，

∴BH＝HF＝8﹣．

（3）解：如圖②中，存在．理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝8，AB∥CD，∠DAH＝90°，

∵tan∠ADH＝＝，

∴可以假設AH＝4k，AD＝3k，則DH＝5k，

∵△BHF是等腰三角形，∠BHF是鈍角，

∴HF＝BH，設BH＝HF＝x，

∵AH∥CD，

∴＝，

∴＝①，

∵AH+BH＝8，

∴4k+x＝8 ②，

由①②可得，x＝或（舍棄），

∴存在，該三角形的腰長為．