Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，將一塊等腰直角三角板的銳角頂點與A重合，并將三角板繞A點旋轉，如圖1，使它的斜邊與BD交于點H，一條直角邊與CD交于點G．

（1）請適當添加輔助線，通過三角形相似，求出 的值；
（2）連接GH，判斷GH與AF的位置關系，并證明；
（3）如圖2，將三角板旋轉至點F恰好在DC的延長線上時，若AD=3 ，AF=5 ．求DG的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接AC，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠ABD=∠ACD=45°，cos∠BAC=cos45°= ，

又∵△AEF是等腰直角三角形，

∴∠EAF=45°，

∴∠BAH+∠FAC=∠FAC+∠EAC=45°，

∴∠BAH=∠EAC，

∴△BAH∽△ACG，

∴ = = ；

（2）

解：GH⊥AF，理由如下：

∵在Rt△AEF中，cos∠EAF=cos45°= = ，

∴ = = ，

又∵∠HAG=∠EAF

∴△HAG∽△EAF，

∴∠AHG=∠E=90°，

∴GH⊥AF；

（3）

解：∵在Rt△AGH中，sin∠GAH=sin45°= = ，

∴AG= GH，

又∵∠ADG=∠E=90°，∠AGD=∠FGE，

∴△AGD∽△FGE，

∴ = = ，

又∵在Rt△AEF中，AF=5 ，

∴EF=5，

∴ = ，

∴ = ，

∴ = ，

∴可設GH為3x，則GF=5x，FH= =4x，

∴AF=AH+FH=3x+4x=5 ，

∴x= ，

∴AG= GH= ×3× = ，

∴GE=AE﹣AG=5﹣ = ，

又∵ = = ，

∴ = ，

∴DG= ．

【解析】（1）連接AC，根據正方形的性質的∠BAC=∠ABP=∠ABP=45°，cos∠BAC=cos45°= ，根據等腰直角三角形的性質得到∠EAF=45°，根據相似三角形的性質即可得到結論；（2）根據三角函數的定義得到 = = ，根據相似三角形的性質即可得到結論；（3）根據三角函數的定義得到AG= GH，根據相似三角形的性質得到 = = ，設GH為3x，則GF=5x，根據勾股定理得到FH= =4x，得到AG= GH= ×3× = ，于是得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．