Question

9．如圖，△ABC中，AB=AC，⊙O為△ABC外接圓，BD為⊙O直徑，DB交AC于E．連接AO
（1）求證：AO⊥BC；
（2）若$\frac{BE}{DE}$=$\frac{7}{3}$，求$\frac{AE}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據弦、弧、圓心角的關系得到$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，根據垂徑定理證明結論；
（2）連接DC，根據圓周角定理得到∠BCD=90°，得到AO∥DC，根據平行線分線段成比例定理計算即可．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AO⊥BC；
（2）解：連接DC，
∵$\frac{BE}{DE}$=$\frac{7}{3}$，
∴$\frac{OE}{ED}$=$\frac{2}{3}$，
∵BD為⊙O直徑，
∴∠BCD=90°，又AO⊥BC，
∴AO∥DC，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{OE}{ED}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查的是三角形的外接圓和外心、垂徑定理的應用、圓周角定理的應用，掌握垂徑定理、直徑所對的圓周角是直角、平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．