Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，對于任意兩點P(m，y)Q(m，y0)，m為任意實數．若y0=，則稱點Q是點P的變換點．例如：若點P(1，y)在直線y=x上，點P的變換點Q在函數y=的圖象上設點P(m，y)在函數y=﹣x2+2x+3的圖象上，點P的變換點Q所在的圖象記為G．

（1）求圖象G對應的函數關系式；

（2）設圖象G與x軸的交點為A、B(點A在點B的左側)與y軸交于點C，連結AC、BC，求△ABC的面積；

（3）當﹣2≤x≤m時，若圖象G的最高點與最低點之間的距離不大于，直接寫出m的取值范圍；

（4）設點P(，y)在函數y=ax2﹣3ax﹣4a(a≠0)的圖象上，點P的變換點Q所在的圖象記為G1，圖象G1與x軸的交點為M、N(點M在點N的左側)，連結MN，將MN沿y軸向上平移一個單位得到線段M'N'，當圖象G1與線段M'N'只有一個交點時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=，（2）6或3；（3）1﹣≤m≤0或1≤m≤1+或3≤m≤1+或m≥4；（4）a或0＜a＜．

【解析】

（1）由題意得：函數G的表達式為：y=，

（2）點A、B的坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），點C（0，3）或（0，﹣），故△ABC的面積=×AB×OC=6或3；

（3）分m≤﹣1、﹣1≤m≤1、1≤m≤3、m≥3三種情況，分別求解即可；

（4）分當a＜0、a＞0兩種情況求解即可．

解：（1）由題意得：

函數G的表達式為：y=，

（2）如圖1，令y=0，

解得：x=﹣1或3，

故點A、B的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0），

函數對稱軸為：x=1，

點C（0，3）或（0，﹣）；

故△ABC的面積=×AB×OC=6或3；

（3）①當m≤﹣1時，如圖2，

當﹣2≤x≤m時，圖象G的最高點為R，最低點B，點R（﹣2，），

則yR﹣yB，

即﹣（﹣m2+2m+3），

解得：1﹣≤m≤1+，

故1﹣≤m≤﹣1；

②當﹣1≤m≤1時，如圖3所示，點A（﹣2，）

當點A為最高點時，

yA﹣yC，

即+（﹣m2+2m+3），

解得：m為任意實數；

點B是高點時，

yB﹣yC，

即（﹣m2+2m+3），

解得：m≥2或m≤0，

故﹣1≤m≤0；

③當1≤m≤3時，如圖4所示，點A（﹣2，），頂點E（1，﹣2），

當點A是最高點時，

yA﹣yE=，符合條件；

當點C是最高點時，

yC﹣yE，

即（﹣m2+2m+3），

解得：1﹣≤m≤1，

故1≤m≤1+；

④當m≥3時，如圖5所示，點A（﹣2，），頂點E（1，﹣2），

（Ⅰ）當點A是最高點時，

當點E是最低點時，yA﹣yE=；

當點D時最低點時，yA﹣yD，

即﹣（﹣m2+2m+3），

解得：3≤m≤1+；

故3≤m≤1+；

（Ⅱ）當點B是最高點時，

當點E是最低點時，yB﹣yE=，同理可得：m≥4，

當點D時最低點時，yB﹣yD≤，同理可得：m≤1+，

故：3≤m≤1+或m≥4；

綜上，1﹣≤m≤0或1≤m≤1+或3≤m≤1+或m≥4；

（4）①當a＜0時，如圖6所示，

當x=﹣時，對應拋物線上的實點R，則yR＞1，

即：y=ax2﹣3ax﹣4a=a（+﹣4）＞1，

解得：a，

②當a＞0時，

當x=﹣時，﹣（ax2﹣3ax﹣4a）＜1，

即﹣a（+﹣4）＜1，

解得：a，即0＜a＜；

綜上，a的取值范圍為：a或0＜a＜．