Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（x1 ， y1），點Q的坐標為（x2 ， y2），且x1≠x2 ， y1≠y2 ， 若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點P，Q的“相關矩形”，如圖為點P，Q的“相關矩形”示意圖．
（1）已知點A的坐標為（1，0）， ①若點B的坐標為（3，1），求點A，B的“相關矩形”的面積；
②點C在直線x=3上，若點A，C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的表達式；
（2）⊙O的半徑為 ，點M的坐標為（m，3），若在⊙O上存在一點N，使得點M，N的“相關矩形”為正方形，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵A（1，0），B（3，1）

由定義可知：點A，B的“相關矩形”的底與高分別為2和1，

∴點A，B的“相關矩形”的面積為2×1=2；

②由定義可知：AC是點A，C的“相關矩形”的對角線，

又∵點A，C的“相關矩形”為正方形

∴直線AC與x軸的夾角為45°，

設直線AC的解析為：y=x+m或y=﹣x+n

把（1，0）分別y=x+m，

∴m=﹣1，

∴直線AC的解析為：y=x﹣1，

把（1，0）代入y=﹣x+n，

∴n=1，

∴y=﹣x+1，

綜上所述，若點A，C的“相關矩形”為正方形，直線AC的表達式為y=x﹣1或y=﹣x+1

（2）解：

設直線MN的解析式為y=kx+b，

∵點M，N的“相關矩形”為正方形，

∴由定義可知：直線MN與x軸的夾角為45°，

∴k=±1，

∵點N在⊙O上，

∴當直線MN與⊙O有交點時，點M，N的“相關矩形”為正方形，

當k=1時，

作⊙O的切線AD和BC，且與直線MN平行，

其中A、C為⊙O的切點，直線AD與y軸交于點D，直線BC與y軸交于點B，

連接OA，OC，

把M（m，3）代入y=x+b，

∴b=3﹣m，

∴直線MN的解析式為：y=x+3﹣m

∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，

∴OD= OA=2，

∴D（0，2）

同理可得：B（0，﹣2），

∴令x=0代入y=x+3﹣m，

∴y=3﹣m，

∴﹣2≤3﹣m≤2，

∴1≤m≤5，

當k=﹣1時，把M（m，3）代入y=﹣x+b，

∴b=3+m，

∴直線MN的解析式為：y=﹣x+3+m，

同理可得：﹣2≤3+m≤2，

∴﹣5≤m≤﹣1；

綜上所述，當點M，N的“相關矩形”為正方形時，m的取值范圍是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1

【解析】（1）①由相關矩形的定義可知：要求A與B的相關矩形面積，則AB必為對角線，利用A、B兩點的坐標即可求出該矩形的底與高的長度，進而可求出該矩形的面積；②由定義可知，AC必為正方形的對角線，所以AC與x軸的夾角必為45，設直線AC的解析式為；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；（2）由定義可知，MN必為相關矩形的對角線，若該相關矩形的為正方形，即直線MN與x軸的夾角為45°，由因為點N在圓O上，所以該直線MN與圓O一定要有交點，由此可以求出m的范圍．