Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接.

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）若點為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）點是直線上方拋物線上的點，若，求出點的到軸的距離.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，或或（3）

【解析】

（1）將點A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+2即可；

（2）由題得，，，設，，按照分類討論的方法得到符合條件的值；

（3）過點作平行于軸交的延長線與點，過點作垂直軸于，先利用平行線的性質、等量代換等求證、，利用勾股定理求出H坐標，寫出直線CP的函數表達式，求出一次函數與二次函數的交點P的坐標，即可得到答案.

（1）解：（1）將點，代入，

可得，，

∴；

（2）存在點使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，

由題得，，，設，，

①四邊形是平行四邊形時，

，∴，

∴；

②四邊形時平行四邊形時，

，∴，

∴；

③四邊形時平行四邊形時，

，∴，

∴；

綜上所述：或或；

（2）過點作平行于軸交的延長線與點.

∵

∴

又

∴

∴

又

∴

故可設，即

過點作垂直軸于

在中，則

解得

∴

設直線的解析式為

得得，

∴

故

解得（舍去），

即點到軸的距離是