Question

4．如圖，△ABC中，D是BC上一點，∠DAC=∠B，E為AB上一點．
（1）求證：△CAD∽△CBA；
（2）若BD=10，DC=8，求AC的長；
（3）在（2）的條件下，若DE∥AC，AE=4，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）有兩組角對應相等的兩個三角形相似，據此判斷△CAD∽△CBA即可；
（2）根據相似三角形的對應邊成比例，得出AC²=CD×CB，再根據BD=10，DC=8，求得AC的長即可；
（3）根據平行線分線段成比例定理，由DE∥AC，得出$\frac{BE}{EA}$=$\frac{BD}{DC}$，再根據BD=10，DC=8，AE=4，求得BE=5即可．

解答 解：（1）∵在△CAD和△CBA中，
∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，
∴△CAD∽△CBA；

（2）∵△CAD∽△CBA，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CA}{BC}$，即AC²=CD×CB，
又∵BD=10，DC=8，
∴AC²=8×18=144，
∴AC=±12，
又∵AC＞0，
∴AC=12；   

（3）∵DE∥AC，
∴$\frac{BE}{EA}$=$\frac{BD}{DC}$，
又∵BD=10，DC=8，AE=4，
∴$\frac{BE}{4}$=$\frac{10}{8}$，
∴BE=5．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．解題時注意：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．