Question

【題目】已知拋物線y1＝ax2－2amx+am2+4，直線y2＝kx－km+4，其中a≠0，a、k、m是常數．

(1)拋物線的頂點坐標是______，并說明上述拋物線與直線是否經過同一點(說明理由)；

(2)若a＜0，m=2，t≤x ≤t+2，y1的最大值為4，求t的范圍；

(3)拋物線的頂點為P，直線與拋物線的另一個交點為Q，對任意的m值，若1≤k≤4，線段PQ(不包括端點)上至少存在兩個橫坐標為整數的點，求a的范圍．

Answer 1

【答案】(1)（m，4）；拋物線與直線都經過同一點(m，4)，理由見解析； (2)0≤t≤2；(3) 或者

【解析】

(1)先把拋物線方程化為頂點式，得到頂點坐標，再求出直線y2＝kx－km+4恒過的頂點，即可求解；

(2) 當m=2時，，再結合t≤x ≤t+2，y1的最大值為4，即可算出答案；

(3)聯立拋物線和一次函數的解析式，求出交點的橫坐標，再線段PQ(不包括端點)上至少存在兩個橫坐標為整數的點列不等式計算即可得到答案．

解：(1) 把拋物線y1＝ax2－2amx+am2+4化為頂點式為：

，

故頂點坐標為(m，4)，

又∵直線y2＝kx－km+4=k(x-m)+4，

∴直線y2＝kx－km+4恒過點(m，4)，

故拋物線與直線是否經過同一點(m，4) ．

(2)當m=2時，，

又∵a＜0，

∴拋物線開口向下，在x=2時取到最大值4，

又∵t≤x ≤t+2，y1的最大值為4，

∴

∴0≤t≤2；

(3)令 ，則有 =kx－km+4，解得 =m， =m+ ．

∵線段PQ上至少存在兩個橫坐標為整數的點，k>0，

∴ 或者，

又∵1≤k≤4，

∴或者；