Question

【題目】若三角形的一條角平分線與被平分的角的一邊相等，則稱這個三角形為“弱等腰三角形”，這條角平分線叫做這個三角形的“弱線”，如圖①，AD是△ABC的角平分線，當AD＝AB時，則△ABC是“弱等腰三角形”，線段AD是△ABC的“弱線”．

（1）如圖②，在△ABC中．∠B＝60°，∠C＝45°．求證：△ABC是“弱等腰三角形”；

（2）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B為圓心在矩形內部作，交BC于點E，點F是上一點，連結CF．且CF與有另一個交點G．連結BG．當BG是△BCF的“弱線”時，求CG的長．

（3）已知△ABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱線”，且AB＝3BD，求AC：BC的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）24：17

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC＝∠ABC＝30°，根據(jù)三角形的內角和得到∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，于是得到結論；

（2）如圖③，連接EG，根據(jù)角平分線的定義得到∠FBG＝∠GBE，根據(jù)全等三角形的性質得到∠BGF＝∠BGE，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論；

（3）①如圖④，當AB＝AD時，在AC上取一點E，使得AE＝AB，連接DE，根據(jù)角平分線的定義得到∠FBG＝∠GBE，根據(jù)全等三角形的性質得到∠BGF＝∠BGE，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論；②當AC＝AD時，如圖⑤，在AB上取一點E，使AE＝AC，連接DE，同理可得結論．

（1）證明：如圖②作△ABC的角平分線BD，交AC于D，

∴∠DBC＝∠ABC＝30°，

∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，

∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，

∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝30°+45°＝75°，

∴∠ADB＝∠A，

∴BA＝BD，

∴△ABC是“弱等腰三角形”；

（2）如圖③，連接EG，

∵BG是△BCF的“弱線”，

∴BG平分∠FBC，

∴∠FBG＝∠GBE，

∵BF＝BE，BG＝BG，

∴△BGF≌△BGE（SAS），

∴∠BGF＝∠BGE，

∵BG＝BE，

∴∠BGE＝∠BEG＝（180°﹣∠GBE），

∴∠FGE＝180°﹣∠GBE，

∵∠CGE＝180°﹣∠FGE，

∴∠CGE＝∠CBG，

∵∠GCE＝∠BCG，

∴△GCE∽△BCG，

∴＝，

∵CE＝4﹣3＝1，

∴CG2＝CEBC＝1×4＝4，

∴CG＝2；

（3）①如圖④，當AB＝AD時，在AC上取一點E，使得AE＝AB，連接DE，

∵AD是“弱線”，

∴AD是△ABC的角平分線，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AD＝AD，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴DE＝BD，∠B＝∠AED，

∵AD＝AB，

∴∠B＝∠ADB，

∴∠AED＝∠ADB，

∴∠CED＝180°﹣∠AED，∠ADC＝180°﹣∠ADB，

∴∠CED＝∠ADC，

∵∠C＝∠C，

∴△ADC∽△DEC，

∴＝，

∴CE＝CD，CD＝AC，

∴CE＝AC，

∴CE＝AE＝BD，CD＝3CE＝BD，

AC＝9CE＝BD，

∴BC＝BD+BD＝BD，

∴AC：BC＝27：17；

②當AC＝AD時，如圖⑤，在AB上取一點E，使AE＝AC，連接DE，

同理可得， ＝＝，即＝，由上面計算可得，BC＝CD，

∵AC＝3CD，

∴AC：BC＝24：17．