Question

【題目】如圖，點E是四邊形ABCD的對角線BD上的一點，∠BAE=∠CBD=∠DAC．

（1）求證：DEAB=BCAE；
（2）求證：∠AED+∠ADC=180°．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠BAE=∠DAC，

∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，

即∠BAC=∠EAD，

∵∠ABC=∠ABE+∠CBD，

∠AED=∠ABE+∠BAE，

∵∠CBD=∠BAE，

∴∠ABC=∠AED，

∴△ABC∽△AED，

∴ ，

∴DEAB=BCAE

（2）證明：∵△ABC∽△AED，

∴ ，即 ，

∵∠BAE=∠DAC

∴△ABE∽△ACD，

∴∠AEB=∠ADC，

∵∠AED+∠AEB=180°，

∴∠AED+∠ADC=180°

【解析】（1）根據已知條件得到∠BAC=∠EAD，根據三角形額外角的性質得到∠ABC=∠AED，推出△ABC∽△AED，根據三角形的外角的性質得到結論；（2）根據相似三角形的性質得到 ，推出△ABE∽△ACD，根據相似三角形的性質得到∠AEB=∠ADC，等量代換即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．