Question

【題目】已知二次函數y=﹣（a+b）x2﹣2cx+a﹣b中，a、b、c是△ABC的三邊．
（1）當拋物線與x軸只有一個交點時，判斷△ABC是什么形狀；
（2）當x=﹣ 時，該函數有最大值 ，判斷△ABC是什么形狀．

Answer 1

【答案】
（1）解：當拋物線與x軸只有一個交點時，△ABC是直角三角形；理由如下：

當拋物線與x軸只有一個交點時，△=0，

即（﹣2c）2﹣4×[﹣（a+b]（a﹣b）=0，

整理得c2+a2=b2，

∴△ABC是直角三角形

（2）解：△ABC是等邊三角形；理由如下：

根據題意得：﹣ =﹣ ，即c= 時，

有 = ，

整理，得2b2﹣a2﹣2c2+ab=0，

將c= 代入，得a2=b2，

∵a＞0，b＞0，

∴a=b=c，

即△ABC是等邊三角形

【解析】（1）由題意得出△=0，得出c2+a2=b2 ， 由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形即可；（2）由x=﹣ 時函數有最大值為 ，可知頂點的橫坐標為﹣ ，縱坐標為 ，根據頂點坐標公式列方程求解即可．
【考點精析】利用二次函數的最值和拋物線與坐標軸的交點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．