Question

19．設方程4x²-7x-3=0的兩根為x₁，x₂，不解方程求下列各式的值：
（1）x₁²x₂+x₁x₂²．
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+1}$．

Answer 1

分析 先根據根與系數的關系得到x₁+x₂=$\frac{7}{4}$，x₁x₂=-$\frac{3}{4}$，再利用代數式變形得到x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂（x₁+x₂），$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$，然后利用整體代入的方法計算．

解答 解：∵方程4x²-7x-3=0的兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{7}{4}$，x₁x₂=-$\frac{3}{4}$，
（1）x₁²x₂+x₁x₂²
=x₁x₂（x₁+x₂）
=-$\frac{3}{4}$×$\frac{7}{4}$
=-$\frac{21}{16}$；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+1}$
=$\frac{{x}_{2}（{x}_{2}+1）+{x}_{1}（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$
=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$
=$\frac{（\frac{7}{4}）^{2}-2×（-\frac{3}{4}）+\frac{7}{4}}{-\frac{3}{4}+\frac{7}{4}+1}$
=$\frac{101}{32}$．

點評 本題考查了根與系數的關系，關鍵是熟悉若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．