Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，點O為對角線BD的中點，DE、BF分別平分∠ADC和∠ABC.

(1)求證：EF、BD互相平分；

(2)若∠A=60，AE=2EB，AD=4，求四邊形DEBF的周長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）12.

【解析】

（1）根據平行四邊形的對角相等以及角平分線的定義，證明∠ABF=∠AED，則DE∥BF，即可得到四邊形DEBF是平行四邊形，根據平行四邊形的對角線互相平分即可證得；

（2）證明△ADE是等邊三角形，求得AE、DE的長，則BE即可求得，進而求得DEBF的周長．

證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ADC=∠ABC.

又∵DE，BF分別是∠ADC，∠ABC的平分線，

∴∠ABF=∠CDE.

又∵∠CDE=∠AED，

∴∠ABF=∠AED，

∴DE∥BF，

∵DF∥BE

∴四邊形DEBF是平行四邊形，

∴EF，BD互相平分.

(2)由(1)知∠ADE=∠AED，

∵∠A=60°，

∴△ADE是等邊三角形.

∴AE=DE=AD=4，

又∵AE:EB=2:1，

∴EB=2.

∴四邊形DEBF的周長是12.