Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠CBG=∠A，CD為直徑，OC與AB相交于點E，過點E作EF⊥BC，垂足為F，延長CD交GB的延長線于點P，連接BD．

（1）求證：PG與⊙O相切；

（2）若=，求的值；

（3）在（2）的條件下，若⊙O的半徑為8，PD=OD，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）OE=2﹣4．

【解析】

（1）要證PG與⊙O相切只需證明∠OBG=90°，由∠A與∠BDC是同弧所對圓周角且∠BDC=∠DBO可得∠CBG=∠DBO，結合∠DBO+∠OBC=90°即可得證；

（2）求需將BE與OC或OC相等線段放入兩三角形中，通過相似求解可得，作OM⊥AC、連接OA，證△BEF∽△OAM得，由AM=AC、OA=OC知，結合即可得；

（3）Rt△DBC中求得BC=8、∠DCB=30°，在Rt△EFC中設EF=x，知EC=2x、FC=x、BF=8﹣x，繼而在Rt△BEF中利用勾股定理求出x的，從而得出答案．

（1）如圖，連接OB，則OB=OD，

∴∠BDC=∠DBO，

∵∠BAC=∠BDC、∠BDC=∠GBC，

∴∠GBC=∠BDC，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠DBO+∠OBC=90°，

∴∠GBC+∠OBC=90°，

∴∠GBO=90°，

∴PG與⊙O相切；

（2）過點O作OM⊥AC于點M，連接OA，

則∠AOM=∠COM=∠AOC，

∵，

∴∠ABC=∠AOC，

又∵∠EFB=∠OGA=90°，

∴△BEF∽△OAM，

∴，

∵AM=AC，OA=OC，

∴，

又∵，

∴；

（3）∵PD=OD，∠PBO=90°，

∴BD=OD=8，

在Rt△DBC中，BC==8，

又∵OD=OB，

∴△DOB是等邊三角形，

∴∠DOB=60°，

∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC，

∴∠OCB=30°，

∴，=，

∴可設EF=x，則EC=2x、FC=x，

∴BF=8﹣x，

在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2，

∴100=x2+（8﹣x）2，

解得：x=6±，

∵6+＞8，舍去，

∴x=6﹣，

∴EC=12﹣2，

∴OE=8﹣（12﹣2）=2﹣4．