Question

【題目】梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，以AD為直徑的⊙O交AB于E，⊙O的切線EF交BC于F，求證：

（1）EF⊥BC； （2）BF·BC=BE·AE.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據已知利用切線的性質可得到∠BEF+∠B=90°，即EF⊥BC；
（2）利用兩組角對應相等的兩個三角形相似得到△ADE∽△BEF，再根據相似三角形的對應邊成比例和AD=BC，即可得到BFBC=BEAE．

證明：（1）連接OE，

∵∠DEF+∠DEO=90°，∠ADE+∠OEA=90°，

∴∠DEF=∠OEA．

∵OA=OE，AD=BC，

∴∠OEA=∠A=∠B．

∴∠A=∠B=∠DEF．

∵∠DEF+∠BEF=90°，

∴∠BEF+∠B=90°．

∴EF⊥BC；

（2）∵∠A=∠B，∠AED=∠BFE=90°，

∴△ADE∽△BEF．

∴．

∵AD=BC，

∴．

∴BFBC=BEAE．