Question

【題目】如圖，Rt△ACB中，∠C＝90°，點D在AC上，∠CBD＝∠A，過A、D兩點的圓的圓心O在AB上.

（1）判斷BD所在直線與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若AE＝4，∠A＝30°，求圖中由BD、BE、弧DE圍成陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C，推出DE∥BC，求出∠EDB=∠CBD=∠A，根據∠A+∠OED=90°，求出∠EDB+∠ODE=90°，根據切線的判定推出即可；

（2）分別求出扇形DOE和△ODB的面積，即可求出答案．

解：（1）直線BD與⊙O的位置關系是相切

證明：連接OD、DE

∵∠C＝90°

∴∠CBD+∠CDB＝90°

∵∠A＝∠CBD

∴∠A+∠CDB＝90°

∵OD＝OA

∴∠A＝∠ADO

∴∠ADO+∠CDB＝90°

∴∠ODB＝180°﹣90°＝90°

∴OD⊥BD

∵OD為半徑

∴BD是⊙O切線

（2）解：∵AE是⊙O直徑

∴∠ADE＝90°

∵AE＝4，∠A＝30°

∴DE＝AE＝2，∠AED＝60°

∵OD＝OE

∴△DOE是等邊三角形

∴∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝2

∵∠ODB＝90°

∴∠EDB＝30°

∴∠B＝∠DEO﹣∠EDB＝60°﹣30°＝30°

∴OB＝2OD＝4

由勾股定理得：DB＝，

∴陰影部分的面積S＝S△ODB﹣S扇形DOE

＝

＝．