Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，點M在BC上，連接AM，作∠AMN＝∠AMB，點N在直線AD上，MN交CD于點E．

(1)求證：△AMN是等腰三角形；

(2)求證：AM2＝2BMAN；

(3)當M為BC中點時，求ME的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).

【解析】

（1）利用矩形和平行線的性質求證∠AMN＝∠NAM，從而等角對等邊；（2）根據等腰三角形和相似三角形的性質列比例式，得到ANBM＝AHAM＝AM2，從而求證；(3)由（2）的結論和已知條件求得AN＝5，DN＝3，然后根據平行線判定△DNE∽△CME，從而列出比例式求DE的長度，最后利用勾股定理求解.

(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠NAM＝∠BMA，

∵∠AMN＝∠AMB，

∴∠AMN＝∠NAM，

∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；

(2)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，

∴∠NAM＝∠BMA，

作NH⊥AM于H，如圖所示：

∵AN＝MN，NH⊥AM，

∴AH＝AM，

∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，

∴△NAH∽△AMB，

∴，

∴ANBM＝AHAM＝AM2，

∴AM2＝2BMAN；

(3)∵M為BC中點，

∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，

由(2)得：AM2＝2BMAN，

即：AM2＝2AN，

∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，

∴10＝2AN，

∴AN＝5，

∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，

設DE＝x，則CE＝3﹣x，

∵AN∥BC，

∴△DNE∽△CME

∴，即 ，

解得：x＝，即DE＝，

∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，

∴在Rt△MEC中，ME＝．