Question

【題目】在數學課上，老師提出利用尺規作圖完成下面問題：已知：△ABC是⊙O的內接三角形．求作：△ABC中∠BAC的平分線．

小明的作法如下：

（1）作BC邊的垂直平分線DE，交BC于點D，交弧BC于點E；

（2）連接AE，交BC邊于點F；則線段AF為所求△ABC中∠BAC的平分線．根據小明設計的尺規作圖過程，

①在圖中補全圖形（尺規作圖，保留作圖痕跡）；

②完成下面的證明．

證明：∵OB＝OC，DE是線段BC的垂直平分線

∴圓心O在直線DE上（　 　）．

∵DE⊥BC，

∴（　 　）．

∴∠BAE＝∠CAE（　 　），

∴線段AF為所求△ABC中∠BAC的平分線．

Answer 1

【答案】到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上；垂徑定理；圓周角定理

【解析】

（1）根據幾何語言畫出對應的幾何圖形；
（2）根據線段垂直平分線的性質得到DE⊥BC，則利用垂徑定理得到弧BE=弧CE，然后根據圓周角定理得到∠BAE=∠CAE．

（1）如圖，

（2）證明：∵OB＝OC，DE是線段BC的垂直平分線

∴圓心O在直線DE上（到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上）．

∵DE⊥BC，

∴（垂徑定理）．

∴∠BAE＝∠CAE（圓周角定理），

∴線段AF為所求△ABC中∠BAC的平分線．

故答案為到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上；垂徑定理；圓周角定理．