Question

【題目】如圖，ABCD中，點E在BC延長線上，EC＝BC，連接DE，AC，AC⊥AD于點A、

（1）求證：四邊形ACED是矩形；

（2）連接BD，交AC于點F．若AC＝2AD，猜想∠E與∠BDE的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）∠E＝2∠BDE

【解析】

（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，EC=BC，易證得四邊形ACED是平行四邊形，又由AC⊥AD，即可證得四邊形ACED是矩形；
（2）根據矩形的性質得∠E=∠DAC=90°，可證得DA=AF，由等腰三角形的性質可得∠ADF=45°，則∠BDE=45°，可得出∠E=2∠BDE．

（1）證明：因為ABCD是平行邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵BC＝CE，點E在BC的延長線上，

∴AD＝EC，AD∥EC，

∴四邊形ACED為平行四邊形，

∵AC⊥AD，

∴平行四邊形ACED為矩形

（2）∠E＝2∠BDE

理由：∵平行四邊形ABCD中，AC＝2AF，

又∵AC＝2AD，

∴AD＝AF，

∴∠ADF＝∠AFD，

∵AC∥ED，

∴∠BDE＝∠BFC，

∵∠BFC＝∠AFD，

∴∠BDE＝∠ADF＝45°，

∴∠E＝2∠BDE