Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形ABCD中，點P是邊CD上一動點，作直線BP，過A、C、D三點分別作直線BP的垂線段，垂足分別是E、F、G．

（1）如圖（a）所示，當CP＝3時，求線段EG的長；

（2）如圖（b）所示，當∠PBC＝30°時，四邊形ABCF的面積；

（3）如圖（c）所示，點P在CD上運動的過程中，四邊形AECG的面積S是否存在最大值？如果存在，請求出∠PBC為多少度時，S有最大值，最大值是多少？如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6+2；（3）當∠PBC為22.5°時，S有最大值，最大值是4+4．

【解析】

（1）延長AE交BC于點Q，過點D作DR⊥AE，由題意可證四邊形DREG是矩形，即DR＝EG，由勾股定理可求BP＝5，由等角的余角相等可得∠ADR＝∠PBQ，可證△ADR∽△PBC，可得,可求出DR＝，即EG＝；（2）過點F作FM⊥AB于點M，作FN⊥BC于點N，由題意可證四邊形BNFM是矩形，可得FM＝BN，由直角三角形的性質可求CF＝2，NC＝1，FN＝NC＝，即FM＝BN＝3，根據S四邊形ABCF＝S△ABF+S△BFC，可求四邊形ABCF的面積；（3）連接AF，AC，過點D作DR⊥AE，由第一問的結論和全等三角形的性質可得BF＝EG，由S四邊形AECG＝S△AEG+S△CEG＝×EG×AE+×EG×CF＝×BF×AE+×BF×CF＝S△ABF+S△BCF＝S四邊形ABCF＝S△ABC+S△AFC＝8+S△AFC，則當點F在AC的右側，且到AC距離最大時，S四邊形AECG值最大，由點B，點C，點F，點N四點在以O為圓心，OC為半徑的圓上，可知當OF⊥AC時，點F到AC距離最大，根據圓的有關性質和等腰三角形的性質，可求四邊形AECG的面積S是的最大值和∠PBC的度數；

解：

（1）如圖，延長AE交BC于點Q，過點D作DR⊥AE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝BC＝4，AD∥BC，

∴∠DAR＝∠AQB，

∵∠AQB+∠PBC＝90°，∠DAR+∠ADR＝90°，

∴∠ADR＝∠PBC，

∵PC＝3，BC＝4，

∴BP＝＝5，

∵∠ADR＝∠PBC，∠ARD＝∠BCD＝90°，

∴△ADR∽△PBC，

∴，

∴，

∴DR＝，

∵DR⊥AE，DG⊥BP，AE⊥BP，

∴四邊形DREG是矩形，

∴EG＝DR＝；

（2）如圖，過點F作FM⊥AB于點M，作FN⊥BC于點N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，

∵FM⊥AB，FN⊥BC，∠ABC＝90°，

∴四邊形BNFM是矩形，

∴FM＝BN，

∵∠PBC＝30°，

∴FC＝BC＝2，∠FCB＝60°，

∴∠NFC＝30°，

∴NC＝1，FN＝NC＝，

∴BN＝BC﹣NC＝4﹣1＝3＝MF，

∴S四邊形ABCF＝S△ABF+S△BFC，

∴S四邊形ABCF＝×4×3+×4×＝6+2；

（3）如圖，連接AF，AC，過點D作DR⊥AE，

由第一問可得，DR＝EG，∠ADR＝∠PBC，

∵AD＝BC，∠ADR＝∠PBC，∠ARD＝∠CFB＝90°，

∴△ADR≌△CBF（AAS）

∴DR＝BF，

∴BF＝EG，

∵S四邊形AECG＝S△AEG+S△CEG，

∴S四邊形AECG＝×EG×AE+×EG×CF＝×BF×AE+×BF×CF＝S△ABF+S△BCF，

∴S四邊形AECG＝S四邊形ABCF，

∴S四邊形AECG＝S△ABC+S△AFC＝8+S△AFC，

∴當點F在AC的右側，且到AC距離最大時，S四邊形AECG值最大，

如圖，連接BD交AC于點N，取BC中點O，連接ON，OF交AC于點M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BNC＝90°＝∠BFC，BN＝CN，

∴點B，點C，點F，點N四點在以O為圓心，OC為半徑的圓上，

∴OC＝OF＝ON＝2，

∵BN＝CN，BO＝CO，∠BNC＝90°，

∴∠CON＝90°，∠BCN＝∠CNO＝45°，

∴NC＝，

即AC＝，

當OF⊥AC時，點F到AC的距離最大，

∵OF⊥AC，ON＝OC，∠NOC＝90°，

∴OM＝MN＝MC＝，∠FOC＝∠NOC＝45°，

∴FM＝2﹣，

∴四邊形AECG的面積S的最大值＝8+×4×（2﹣）＝4+4，

∵OB＝OF，

∴∠PBO＝∠OFB，

∵∠PBO+∠OFB＝∠FOC＝45°，

∴∠PBC＝22.5°，

∴當∠PBC為22.5°時，S有最大值，最大值是4+4.