Question

【題目】(1)如圖(1),已知：在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經過點A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點D,證明:△ABD≌△ACE，DE=BD+CE；

(2)如圖(2),將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D, A, E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a為任意銳角或鈍角，請問結論DE=BD+CE是否成立?如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)成立，理由見解析；

【解析】

（1）根據BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，

則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；

（2）利用∠BDA=∠BAC=α，則∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，進而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．

(1)∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

(2)∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°α，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中

，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE.