Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，BD、CE相交于點F，連結ED．

(1)若∠ABC=45°,證明AE=EF；

(2)求證：△AED∽△ACB；

(3)過點A的直線AM∥ED， AM是⊙O的切線嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）是，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由ASA證明△BEF≌△CEA即可；

（2）先證明△AEC∽△ADB，得到AE：AD=AC：AB，再證明△AED∽△ACB即可；

（3）連接AO并延長交⊙O于N，連接NC．由△AED∽△ACB，得到∠ADE=∠ABC，由同弧所對的圓周角相等，得到∠ABC=∠N，等量代換得到∠ADE=∠N．由平行線的性質得到∠MAC=∠ADE，從而∠MAC=∠N．由AN為直徑，得到∠CAN+∠N=90°，進而∠CAN+∠MAC=90°，即可得到結論．

試題解析：解：（1）∵∠ABC=45°，CE⊥AB，即∠BEC=90°，∴∠ECB=45°=∠EBC，∴EB=EC．

∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠BEC=∠BDC=90°，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°．

∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．

在△BEF和△CEA中，∵∠FBE＝∠ACE，BE＝CE，∠BEF＝∠CEA＝90°，∴△BEF≌△CEA，∴AE=EF．

（2）∵∠EBF=∠DCF，∠A=∠A，∴△AEC∽△ADB，∴AE：AD=AC：AB．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB；

（3）AM是⊙O的切線．理由如下：

連接AO并延長交⊙O于N，連接NC．∵△AED∽△ACB，∴∠ADE=∠ABC．∵∠ABC=∠N，∴∠ADE=∠N．∵AM∥ED，∴∠MAC=∠ADE，∴∠MAC=∠N．∵AN為直徑，∴∠NCA=90°，∴∠CAN+∠N=90°，∴∠CAN+∠MAC=90°，∴∠MAO=90°，∴AM是⊙O的切線．