Question

【題目】如圖，∠MAN＝30°，點(diǎn)C、B分別在射線AM、AN上，AB＝6，∠ACB＝30°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AN以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PQ⊥AN交射線AM于點(diǎn)Q，點(diǎn)E是線段AQ的中點(diǎn)，連結(jié)PE．設(shè)△PQE與△ABC重疊部分圖形的面積為S平方單位，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞O）．

（1）求PQ的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當(dāng)△PQE與△ABC重疊部分圖形是一個(gè)面積為的三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）t＝1或t＝6﹣

【解析】

(1)在直角三角形根據(jù)正切公式直接求.

(2)分類討論當(dāng)t不同時(shí)，兩者的關(guān)系，再綜合描述即可.

(3) 分類討論當(dāng)t不同時(shí)，形成固定面積三角形時(shí)的t值即可.

解：（1）在Rt△APQ中，∠MAN＝30°，AP＝3t，

∴PQ＝APtan∠MAN＝t；

（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖，

∵點(diǎn)E是線段AQ的中點(diǎn)，

S＝S△APQ＝×AP×PQ＝×3t×t＝t2，

當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖2，

∵∠MAN＝30°，∠ACB＝30°，

∴∠CBP＝60°，

∵PQ⊥AN，點(diǎn)E是線段AQ的中點(diǎn)，

∴EA＝EP，

∴∠EPA＝∠A＝30°，

∴∠BGP＝90°，

由題意得，BP＝3t﹣6，

∴PG＝（3t﹣6），

∴GH＝×（3t﹣6）＝（3t﹣6），

∴S△PGH＝×GP×GH＝（3t﹣6）2，

∴S＝t2﹣（3t﹣6）2＝﹣t2+t﹣；

（3）當(dāng)0＜t≤2時(shí)， t2＝，

解得，t1＝1，t2＝﹣1（不合題意，舍去），

當(dāng)2＜t≤3時(shí)，△PQE與△ABC重疊部分圖形是四邊形．

當(dāng)3＜t≤6時(shí)，S＝（6﹣t）2＝（6﹣t）2，

則（6﹣t）2＝，

解得，t1＝6﹣，t2＝6+（不合題意，舍去）．

綜上，t＝1或t＝6﹣．