Question

【題目】材料：帕普斯借助函數給出了一種“三等分銳角”的方法，具體如下：

①建立平面直角坐標系，將已知銳角∠AOB的頂點與原點O重合，角的一邊OB與x軸正方向重合；

②在平面直角坐標系里，繪制函數y＝的圖象，圖象與已知角的另一邊OA交于點P；

③以P為圓心，2OP為半徑作弧，交函數y＝的圖象于點R；

④分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩線相交于點M、Q；

⑤連接OM，得到∠MOB，這時∠MOB＝∠AOB．

根據以上材料解答下列問題：

（1）設點P的坐標為（a，），點R的坐標為（b，），則點M的坐標為 ；

（2）求證：點Q在直線OM上；

（3）求證：∠MOB＝∠AOB；

（4）應用上述方法得到的結論，如何三等分一個鈍角（用文字簡要說明）．

Answer 1

【答案】（1）(b，)；（2）見詳解；（3）見詳解；（4）見詳解．

【解析】

（1）根據點P和點R的坐標，直接求出點M的坐標，即可；

（2）先用待定系數法，求出直線OM的解析式，再求出點Q的坐標，進而即可得到結論；

（3）根據矩形的性質，得∠SQR=∠SRQ，由作圖過程中的條件，得PS=OP，由三角形外角的性質定理，結合點Q在直線OM上，可得∠PSO=2∠SQR，進而即可得證；
（4）既然能作出銳角的三等分角，先將鈍角的一半（銳角）三等分，再作鈍角的三等分角，即可．

（1）∵點P的坐標為(a，)，點R的坐標為(b，)，分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩線相交于點M、Q，

∴M(b，)．

故答案是：(b，)；

（2）設直線OM的解析式為：y=kx，

把M(b，)代入y=kx，得=kb，解得：k=，

∴y=x，

由第（1）小題，可知：Q(a，)，

∴=a成立，

∴點Q在直線OM上；

（3）∵四邊形PQRM是矩形，

∴SP=SQ=SR=SM=PR，

∴∠SQR=∠SRQ，

∵PR=2OP，

∴PS=OP=PR，

∴∠POS=∠PSO，

∵點Q在直線OM上，∠PSQ是△SQR的一個外角，

∴∠PSO=2∠SQR，

∴∠POS=2∠SQR，

∵QR∥OB，

∴∠MOB=∠SQR，

∴∠POS=2∠MOB，

∴∠MOB＝∠AOB；

（4）先作出鈍角的一半，按照上述方法先將此鈍角的一半(銳角)三等分，再作一個角與已作得的角相等，進而即可得到鈍角的三等分角．