Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙0上的一點，直線MN經過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且∠BAC=∠DAC．

（1）猜想直線MN與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若CD=6，cos∠ACD=，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）直線MN與⊙O的位置關系是相切。理由如下：
連接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAB=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA�！郞C∥AD。
∵AD⊥MN，∴OC⊥MN。
∵OC為半徑，∴MN是⊙O切線。
（2）∵CD=6，，∴AC=10。
由勾股定理得：AD=8。
∵AB是⊙O直徑，AD⊥MN，∴∠ACB=∠ADC=90°。
∵∠DAC=∠BAC，∴△ADC∽△ACB。
∴，即。
∴AB=12.5�！唷袿半徑是×12.5=6.25。

試題分析：（1）連接OC，推出AD∥OC，從而得OC⊥MN，根據切線的判定推出即可。
（2）求出AD、AB長，證△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB長即可。