Question

（2013年四川眉山9分）在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F，連接BF．

（1）求證：△DEC∽△FDC；
（2）當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí)，求sin∠FBD的值及BC的長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（1）證明：∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC。
（2）∵F為AD的中點(diǎn)，AD∥BC，∴FE：EC=FD：BC=1：2，F(xiàn)B=FC。
∴FE：FC=1：3，∴。
設(shè)EF=x，則FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，∴，即：6x²=12，解得：x=。
∴CF=3。
在Rt△CFD中，。
∴BC=2DF=2。

（1）根據(jù)題意可得∠DEC=∠FDC，利用兩角法即可進(jìn)行相似的判定。
（2）根據(jù)F為AD的中點(diǎn)，可得FB=FC，根據(jù)AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設(shè)EF=x，則EC=2x，利用（1）的結(jié)論求出x，在Rt△CFD中求出FD，繼而得出BC。