Question

如圖：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10．點E在下底邊BC上，點F在腰AB上．

①、則梯形的高是     ；
②、若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為，試用含的代數式表示△BEF的面積；
③、是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此BE的長；若不存在，請說明理由；
④、是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1︰2的兩部分？若存在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

①4；②；③存在，7；④存在，

試題分析：①過點A作AH⊥BC于點H，根據等腰梯形的性質可求得BH的長，然后根據勾股定理求解即可；
②根據題意畫出BE的高FM，然后，推出梯形周長的一半（即12），即可知BF=12x，通過求證△FBM∽△ABH，即可推出高FM關于x的表達式，最后根據三角形的面積公式，即可表示出△BEF的面積；
③通過計算等腰梯形的面積，即可推出其一半的值，然后結合結論（2）即可推出結論；
④首先提出假設成立，然后，分情況進行討論，①若當BE+BF=8，△BEF的面積=，根據題意列出方程，求出x；②若當BE+BF=16，△BEF的面積=時，根據題意列出方程，求出x，最后即可確定假設不成立，即可推出結論．
試題解析：①過點A作AH⊥BC于點H
∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴BH=（BCAD）÷2=3，
∴，即梯形的高為4；
②過點F作FM⊥BC于點M

∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD的周長=24，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周長，
∴BF+BE=12，
∵BE=x，
∴BF=12x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴，
∴，
∴△BEF的面積；
③假設線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分．
∵等腰梯形ABCD中，AH=4，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD面積的一半=4（4+10）÷2÷2=14，
∵當線段EF將等腰梯形ABCD的周長平分時，△BEF的面積關于x的函數表達式為，
∴，
∴整理方程得：，
∵，
解方程得：，
∵當時，，
∴，不符合題意，舍去，
∴當BE=7時，線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分；
④假設存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：2的兩部分．
∵等腰梯形ABCD的周長=24，等腰梯形ABCD的面積=28，
則①若當BE+BF=8，△BEF的面積=，
∵BE=x，
∴BF=8x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴，
∴，
∴△BEF的面積，
當時，
∴，
整理方程得：，
∵
∴故方程無實數解，
∴此種情況不存在；
②若當BE+BF=16，△BEF的面積=時，
∴，
∴△BEF的面積，
∴，
整理方程得：，，
解方程得：，（舍去），
∴當時，線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：2的兩部分．