Question

【題目】如圖，拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標A（﹣1，3），與x軸的一個交點B（﹣4，0），直線y2=mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結論：①2a﹣b=0；②abc＜0；③拋物線與x軸的另一個交點坐標是（3，0）；④方程ax2+bx+c﹣3=0有兩個相等的實數根；⑤當﹣4＜x＜﹣1時，則y2＜y1．

其中正確的是（　　）

A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：根據拋物線對稱軸方程對①進行判斷；由拋物線開口方向得到a<0，由對稱軸位置可得b>0，由拋物線與y軸的交點位置可得c>0，于是可對②進行判斷；根據拋物線的對稱性對③進行判斷；根據頂點坐標對④進行判斷；根據函數圖象得當-4<x<-1時，一次函數圖象在拋物線下方，則可對⑤進行判斷．

詳解：∵拋物線的頂點坐標A（﹣1，3），

∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣=﹣1，

∴2a﹣b=0，所以①正確；

∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∴b=2a＜0，

∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，

∴c＞0，

∴abc＞0，所以②錯誤；

∵拋物線與x軸的一個交點為（﹣4，0）

而拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，

∴拋物線與x軸的另一個交點為（2，0），所以③錯誤；

∵拋物線的頂點坐標A（﹣1，3），

∴x=﹣1時，二次函數有最大值，

∴方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數根，所以④正確；

∵拋物線y1=ax2+bx+c與直線y2=mx+n（m≠0）交于A（﹣1，3），B點（﹣4，0）

∴當﹣4＜x＜﹣1時，y2＜y1，所以⑤正確．

故選：C．

點睛:本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y =ax2+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0）對稱在y軸左；當a 與b異號時即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；b-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．