Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F，連接EF，給出下列判斷：①若△AEF是等邊三角形，則∠B＝60°，②若∠B＝60°，則△AEF是等邊三角形，③若AE＝AF，則平行四邊形ABCD是菱形，④若平行四邊形ABCD是菱形，則AE＝AF，其中，結論正確的是__________(只需填寫正確結論的序號)．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①由等邊三角形的性質得出∠EAF=60°，AE=AF，求出∠C=120°，由平行四邊形的性質得出AB∥CD，∠C=∠BAD=120°，得出∠B=180°-∠C=60°，①正確；

②由平行四邊形的性質得出∠D=∠B=60°，求出∠BAE=∠DAF=30°，得出∠EAF=120°-30°-30°=60°，但是AE不一定等于AF，②錯誤；

③由平行四邊形的面積得出BCAE=CDAF，得出BC=CD，證出平行四邊形ABCD是菱形，③正確；

④由菱形的性質得出BC=CD，由面積得出BCAE=CDAF，得出AE=AF，④正確；即可得出結論．

解：①∵△AEF是等邊三角形，

∴∠EAF=60°，AE=AF，

又∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠C=120°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，∠C=∠BAD=120°，

∴∠B=180°-∠C=60°，故①正確；

②∵∠D=∠B=60°，

∴∠BAE=∠DAF=90°-60°=30°，

∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，

但是AE不一定等于AF，故②錯誤；

③若AE=AF，則BCAE=CDAF，

∴BC=CD，

∴平行四邊形ABCD是菱形，故③正確；

④若平行四邊形ABCD是菱形，

則BC=CD，

∴BCAE=CDAF，

∴AE=AF，故④正確；

故答案為：①③④．