Question

【題目】如圖①，BD是矩形ABCD的對角線，∠ABD=30°，AD=1．將△BCD沿射線BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'為BD中點，連接AB'，C'D，AD'，BC'，如圖②．

（1）求證：四邊形AB'C'D是菱形；
（2）四邊形ABC'D′的周長為；
（3）將四邊形ABC'D'沿它的兩條對角線剪開，用得到的四個三角形拼成與其面積相等的矩形，直接寫出所有可能拼成的矩形周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BD是矩形ABCD的對角線，∠ABD=30°，

∴∠ADB=60°，

由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，

∴AD∥B'C'

∴四邊形AB'C'D是平行四邊形，

∵B'為BD中點，

∴Rt△ABD中，AB'= BD=DB'，

又∵∠ADB=60°，

∴△ADB'是等邊三角形，

∴AD=AB'，

∴四邊形AB'C'D是菱形；

（2）4
（3）解：將四邊形ABC'D'沿它的兩條對角線剪開，用得到的四個三角形拼成與其面積相等的矩形如下：

∴矩形周長為6+ 或2 +3．

【解析】（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，

∴AB∥C'D'，

∴四邊形ABC'D'是平行四邊形，

由（1）可得，AC'⊥B'D，

∴四邊形ABC'D'是菱形，

∵AB= AD= ，

∴四邊形ABC'D′的周長為4 ，

所以答案是：4 ；

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解矩形的性質的相關知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等，以及對平移的性質的理解，了解①經過平移之后的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等，圖形的形狀與大小都沒有發生變化；②經過平移后，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等．