Question

如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點.
（1）求A、B、C的坐標；
（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊，當矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積；
（3）在（2）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ.過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）.若FG=DQ，求點F的坐標.

Answer 1

（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）； （2）；（3）或（1，0）.

試題分析：（1）依據拋物線的解析式直接求得C的坐標，令y=0解方程即可求得A、B點的坐標.
（2）求出矩形PQMN的周長關于點M橫坐標的解析式，應用二次函數最值原理求出矩形PQMN的周長時點M橫坐標的值，求出此時△AEM的面積.
（3）根據FG=DQ列關于點F橫坐標的方程求解即可．
試題解析：（1）由拋物線的解析式令得，∴C（0，3）.
令y=0，-x2+2x+3=0，解得x=-3或x=1.∴A（-3，0），B（1，0）．
（2）∵，∴對稱軸為x=-1.
設，其中.
∵點P、Q關于直線x=-1對稱，設點Q的橫坐標為a，
則，∴.∴.
∴
∴矩形PQMN的周長.
∴當x=-2時，矩形PQMN的周長d最大.
此時 .
設直線AC的解析式為，則，解得.
∴直線AC的解析式為.
將x=-2代入，得y=1，∴.
∴.
（3）由（2）知，當矩形PQMN的周長最大時，x=-2，
此時，，與點C重合，∴OQ=3.
由得.
如圖，過點D作DK⊥y軸于點K，則DK=1，OK=4，∴QK=OK-OQ=4-3=1.
∴△DKQ是等腰直角三角形，.
∴.
設，則，
∴，解得.
當時，；當時，.
∴點F的坐標為或（1，0）.