Question

已知：矩形ABCD中，M為BC邊上一點， AB=BM=10，MC=14，如圖1，正方形EFGH的頂點E和點B重合，點F、G、H分別在邊AB、AM、BC上.如圖2，P為對角線AC上一動點，正方形EFGH從圖1的位置出發，以每秒1個單位的速度沿BC向點C勻速移動；同時，點P從C點出發，以每秒1個單位的速度沿CA向點A勻速移動.當點F到達線段AC上時，正方形EFGH和點P同時停止運動.設運動時間為t秒，解答下列問題：
（1）在整個運動過程中，當點F落在線段AM上和點G落在線段AC上時，分別求出對應t的值；
（2）在整個運動過程中，設正方形與重疊部分面積為S,請直接寫出S與t之間的函數關系式以及自變量t的取值范圍；
（3）在整個運動過程中，是否存在點P,使是以DG為腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)5，7；（2）答案見解析；（3）.

試題分析：（1）根據三角形的中位線易求t的值；
（2）分5種位置關系分別討論；
（3）可以建立以點B為原點的直角坐標系，表示出這個三角形三個頂點的距離，再用兩點間的距離公式表示出各邊的長度，然后分兩種情況討論組成關于t的兩個方程求解即可。
試題解析：(1)∵為正方形
∴ 
∴ 
∴的中點  
∴秒
又∵當落在上時,所走路程為的中位線的長.
又∵  
∴        
∴秒
(2)當時， 
當時， 
時， 
時，

(3)∵



①當時,為等腰三角形
∴  ∴秒
∵   ∴存在點,使為等腰三角形
②當時，為等腰三角形
∴
∴    ∴（舍去）， （舍去）
綜上，存在點,當秒時，是以DG為腰的等腰三角形.