Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊AB在x軸上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，拋物線經過A、C兩點．
（1）求拋物線的解析式及其頂點坐標；
（2）如圖①，點P是拋物線上位于x軸下方的一點，點Q與點P關于拋物線的對稱軸對稱，過點P、Q分別向x軸作垂線，垂足為點D、E，記矩形DPQE的周長為d，求d的最大值，并求出使d最大值時點P的坐標；
（3）如圖②，點M是拋物線上位于直線AC下方的一點，過點M作MF⊥AC于點F，連接MC，作MN∥BC交直線AC于點N，若MN將△MFC的面積分成2：3兩部分，請確定M點的坐標．

Answer 1

（1），（1，-4）

試題分析：
（1）考查求解拋物線的能力，利用點在拋物線上代入即可得解，再求出頂點坐標.
（2）考查數形結合的能力，利用點在拋物線上，設出P點，寫出Q點，得出矩形DPQE的周長為d關于所設變量的函數，再利用二次函數的性質即可得解.
（3）進一步考查數形結合的能力，過點F作FH⊥MN于H，過C作CG⊥MN于G，利用面積比的關系即可得解，注意解值的有意義.
試題解析：
（1）由已知得：A（-1，0）、C（4，5）
∵二次函數的圖像經過點A（-1，0）C(4,5)
∴     解得 
∴拋物線解析式為 
∵   
∴頂點坐標為（1，-4）     

（2）由（1）知拋物線的對稱軸為直線x=1
設點P為（（t，），
∵P、Q為拋物線上的對稱點
∴
當時，

∵
∴當t=2使，d有最大值為10，即點P為（2，-3）
當時，由拋物線的軸對稱性得，點P為（0，-3）時，d有最大值10
綜上，當P為（0，-3）或（2，-3）時，d有最大值10

（3）過點F作FH⊥MN于H，過C作CG⊥MN于G，則∠ANM=∠ACB=45°
∵MF⊥AC
∴     ∴
∵A(-1，0)，C(4，5）
∴直線AC解析式為y=x+1
設點M為（m，），其中，則CG=4－m
由MN∥BC得點N為（m，m+1）
∴
當時，有3MN=4CG   即
解得：  （舍去）
∴點M為 
當時，有2MN=6CG   即
解得：   （舍去）
∴點M為（2，-3） 
∴ 綜上，當M為、（2，-3）