Question

已知：如圖，點O是四邊形BCED外接圓的圓心，點O在BC上，點A在CB的延長線上，且∠ADB=∠DEB，EF⊥BC于點F，交⊙O于點M，EM=2

5

．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若弧BM上有一動點P，且sin∠CPM=

2

3

，求⊙O直徑的長；
（3）在（2）的條件下，如果DE=

14

，求tan∠DBE的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由BC是⊙O的直徑，根據圓周角定理的推論得到∠BDC=90°，而∠CBD=∠ODB，∠DEB=∠BCD，則∠ADB+∠ODB=90°，即可得到結論；
（2）根據圓周角定理得到∠CPM=∠CEM，則sin∠CEM=sin∠CPM=

FC

EC

=

2

3

，設FC=2k，則EC=3k，EF=

5

k，根據垂徑定理得EF=

5

，弧EC=弧MC．則k=1，FC=2，EC=3；再由圓周角定理的推論得到∠BEC=90°，sin∠EBC=sinP=

EC

BC

=

2

3

，即可求出BC；
（3）作直徑EQ，連接DQ．根據圓周角定理的推論得∠QDE=90°，在Rt△DEQ中利用勾股定理求出DQ，而∠DBE=∠Q，然后利用正切的定義計算即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°．
又∵OD=OB，
∴∠CBD=∠ODB．
∴∠BCD+∠ODB=90°．
∵∠ADB=∠DEB，
而∠DEB=∠BCD，
∴∠ADB=∠BCD．
∴∠ADB+∠ODB=90°．
∴AD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠CPM=∠CEM，
∴sin∠CEM=sin∠CPM=

FC

EC

=

2

3

，
設FC=2k，則EC=3k，EF=

5

k，
∵EM與直徑BC垂直，且EM=2

5

，
∴EF=

5

，弧EC=弧MC．
∴k=1，FC=2，EC=3，∠EBC=∠P．
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BEC=90°，
∴sin∠EBC=sin∠CPM=

EC

BC

=

2

3

，
∴BC=

9

2

，
即⊙O直徑為

9

2

；

（3）作直徑EQ，連接DQ．
∴∠QDE=90°，EQ=

9

2

，
在Rt△DEQ中，DQ=

EQ2-DE2

=

5

2

．
∵∠DBE=∠Q，
∴tan∠DBE=tan∠Q=

14

5 2

=

2 14

5

．

點評：本題考查了切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了垂徑定理、圓周角定理及其推論、勾股定理以及解直角三角形．