Question

已知：如圖1，△OAB是邊長為2的等邊三角形，OA在x軸上，點B在第一象限內；△OCA是一個等腰三角形，OC＝AC，頂點C在第四象限，∠C＝120°．現有兩動點P、Q分別從A、O兩點同時出發，點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動，點P以每秒3個單位的速度沿A→O→B運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止．

（1）求在運動過程中形成的△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數關系，并寫出自變量t的取值范圍；

（2）在OA上（點O、A除外）存在點D，使得△OCD為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標；

（3）如圖2，現有∠MCN＝60°，其兩邊分別與OB、AB交于點M、N，連接MN．將∠MCN繞著C點旋轉（0°＜旋轉角＜60°），使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過程中，△BMN的周長是否發生變化？若沒有變化，請求出其周長；若發生變化，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，，當時，（2）或  （3）的周長不發生變化，周長為4

【解析】（1）過點C作CD⊥OA于點D． ……………………………………1分

∵OC=AC，∠ACO=120°，∴∠AOC=∠OAC=30°．

      ∵，， ∴．

   在Rt中，  ………………………2分

 （1）當時，,,；

過點作于點．

     在Rt中，∵，∴，……………………3分

∴．

  即 ．……………………………………………………………4分

   （2）當時，

，．……………………………………………………5分

∵，，∴．

∴．

即．………………………………………………………………6分

故當時，，當時，

（2）或         ……………………………………………8分

（3）的周長不發生變化．

延長至點，使，連結．………………………………9分

∵，∴≌．

∴，  …………………………………………10分

       ∴．

        ∴． 又∵．

   ∴≌．∴   ……………………………………11分

∴．

∴的周長不變，其周長為4   ……………………………………12分

（1）分P點在AO、BO邊兩種情況進行討論；

（2）分OD=OC、CD=CD兩種情況進行討論；

（3）利用等量代換得出三個邊之和為一定值，說明的周長不變。