Question

已知：如圖，點E，F，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點，并且AF=BP=CQ=DE．
求證：（1）EF=FP=PQ=QE；
（2）四邊形EFPQ是正方形．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，又由AF=BP=CQ=DE，即可得DF=CE=BQ=AP，然后利用SAS即可證得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，即可證得EF=FP=PQ=QE；
（2）由EF=FP=PQ=QE，可判定四邊形EFPQ是菱形，又由△APF≌△BPQ，易得∠FPQ=90°，即可證得四邊形EFPQ是正方形．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵AF=BP=CQ=DE，
∴DF=CE=BQ=AP，
在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，

AF=DE=CQ=BP ∠A=∠D=∠C=∠B AP=DF=CE=BQ

，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），
∴EF=FP=PQ=QE；

（2）∵EF=FP=PQ=QE，
∴四邊形EFPQ是菱形，
∵△APF≌△BQP，
∴∠AFP=∠BPQ，
∵∠AFP+∠APF=90°，
∴∠APF+∠BPQ=90°，
∴∠FPQ=90°，
∴四邊形EFPQ是正方形．

點評：此題考查了正方形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意解題的關鍵是證得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP．