Question

已知：如圖，點E、F、G、H分別是梯形ABCD四條邊上的中點，AD∥BC，AB=CD=EG=4．
（1）求梯形ABCD的周長；
（2）∠1與∠2是否相等？為什么？
（3）求證：四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據梯形的中位線定理得到梯形的上下底的和，進一步求得梯形的周長；
（2）根據等腰梯形的性質和全等三角形的判定進行證明，從而得到兩個角相等；
（3）連接對角線．根據梯形的中位線定理，可以得到該四邊形的每一條邊都是對角線的一半，結合對角線相等，即可證明該四邊形的四條邊都相等，從而證明是菱形．

解答：解：（1）由已知，得：EG是梯形的中位線，
∴AD+BC=2×4=8，
∴梯形ABCD的周長=AD+BC+CD+AD，
=4+4+8=16；

（2）∠1=∠2
由已知得：EB=GC=

1

2

AB，BF=CF=

1

2

BC，
而AB=CD，∴∠B=∠C，
∴△EBF≌△GCF
∴∠1=∠2；

（3）證法一：連接AC、BD，
在梯形ABCD中，AB=CD，∴AC=BD
在△ABD中，∵點E、H分別為AB、AD的中點，
∴EH=

1

2

BD，
同理：FG=

1

2

BD，EF=

1

2

AC，GH=

1

2

AC，
∴EF=FG=GH=HE=

1

2

BD，
∴四邊形EFGH是菱形．

點評：熟練運用梯形的中位線定理．注意：順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形．