Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別交軸、軸于點，點，且、滿足.

（1）求，的值;

（2）以為邊作，點在直線的右側且，求點的坐標；

（3）若（2）的點在第四象限（如圖2），與交于點，與軸交于點，連接，過點作交軸于點.

①求證;

②直接寫出點到的距離.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）①見解析，②

【解析】

（1）將等式變形后，利用非負數的性質即可得到a,b的值；

（2）由題意分和兩種情況討論，當時，過點作于，利用AAS證，從而求得點C的坐標；當時，同理可得解；

（3）①過點作軸于點，依次證得，，即可得證；

②過點C分別作x軸、DL的垂線，交于點K、H，通過證明△EDC≌△FDC得到∠DEC =∠LEC，再利用角平分線的性質定理得到CH=CL=1.

.解：（1）

，

，，

，，

，；

（2）由（1）知，，

，

，，

是直角三角形，且，

只有或，

Ⅰ、當時，如圖，

，

，

過點作于，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

Ⅱ、當時，如圖

同Ⅰ的方法得，；

即：滿足條件的點或

（3）①如圖，由（2）知點，

過點作軸于點，則

在和中，

，

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

；

②CH=，

如圖，過點C分別作x軸、y軸、DE的垂線，交于點K、L、H，

由①可知，CL=CK=1，
∠ECL+∠DCK=∠LCK-∠ECD=90°-45°=45°，
∠FCK+∠KCD=∠ECF-∠ECD=90°-45°=45°，
∴∠ECL=∠FCK，又∠FKC=∠ELC=90°，
∴△ELC≌△FKC（AAS），
∴∠LEC=∠KFC，EC=FC，
∠FCD=∠FCK+∠KCD=∠ECL+∠KCD=45°=∠ECD，
又CD=CD，
∴△EDC≌△FDC（SAS），
∴∠DEC=∠DFC，
∴∠DEC =∠LEC．

又

∴CH=CL=1