Question

【題目】如圖，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，點O是△ABC內的一點，∠BOC=130°．

（1）求證：OB=DC；

（2）求∠DCO的大小；

（3）設∠AOB=α，那么當α為多少度時，△COD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）40°；（3）當α的度數為115°或85°或145°時，△AOD是等腰三角形．

【解析】

（1）由已知證明△AOB≌△ADC，根據全等三角形的性質即可證得；

（2）由∠BOC=130°，根據周角的定義可得∠BOA+∠AOC=230°，再根據全等三角形的性質繼而可得∠ADC+∠AOC=230°，由∠DAO=90°，在四邊形AOCD中，根據四邊形的內角和即可求得∠DCO的度數；

（3）分三種情況進行討論即可得.

（1）∵∠BAC=∠OAD=90°，

∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO，

∴∠DAC=∠OAB，

在△AOB與△ADC中，

，

∴△AOB≌△ADC，

∴OB=DC；

（2）∵∠BOC=130°，

∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°，

∵△AOB≌△ADC

∠AOB=∠ADC，

∴∠ADC+∠AOC=230°，

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴∠DAO=90°，

∴四邊形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°；

（3）當CD=CO時，

∴∠CDO=∠COD==70°，

∵△AOD是等腰直角三角形，

∴∠ODA=45°，

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°，

又∠AOB=∠ADC=α，

∴α=115°；

當OD=CO時，

∴∠DCO=∠CDO=40°，

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°，

∴α=85°；

當CD=OD時，

∴∠DCO=∠DOC=40°，

∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°，

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°，

∴α=145°，

綜上所述：當α的度數為115°或85°或145°時，△AOD是等腰三角形．