Question

【題目】如圖，直線y＝－x＋c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點A，B．

（1）求點B的坐標和拋物線的解析式；

（2）M（m，0）為線段OA上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N．

①點M在線段OA上運動，若△BPN∽△APM，求點M的坐標；

②過點N作NQ⊥AB于Q，當N點坐標是多少時，NQ取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）B（0，2），；（2）①M（2.5，0）；②時，NQ有最大值

【解析】

（1）把A點坐標代入直線解析式可求得c，則可求得B點坐標，由A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）①由M點坐標可表示P、N的坐標，由△BPN∽△APM，得到N點的縱坐標為2，可得到關于m的方程，可求得m的值，即可得到點M的坐標；
②先證出△ABO∽△NPQ，從而得到，再打AO,AB求出，用含m的式子把PN表示出來，即可得出關于m的二次函數關系式，利用二次函數的性質可得出NQ的最大值.

解：（1）∵與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，

∴可得c=2，　　　

∴B（0，2）

∵拋物線經過點A，B，

∴　　　解得

∴拋物線解析式為

（2）①由（1）可知直線解析式為

∵M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N，

∴P，　　N

∵△BPN∽△APM，且∠BPN=∠APM，

∴∠BNP=∠AMP=90°　　BN⊥MN，

∴N點的縱坐標為2，

∴

解得m=0（舍去）或m＝2.5，

∴M（2.5，0）

②∵MN∥y軸，

∴∠NPQ＝∠OBA

又∵∠BOA＝∠NQP＝90°

∴△ABO∽△NPQ

∴

∴

由（1）及①知AO＝3，AB＝

PN=－（）=

∴

∴當時，NQ有最大值