Question

【題目】如圖1，在中，，，，于點D，將繞點B順時針旋轉得到

如圖2，當時，求點C、E之間的距離；

在旋轉過程中，當點A、E、F三點共線時，求AF的長；

連結AF，記AF的中點為P，請直接寫出線段CP長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）CE＝；（2）AF的長為+或﹣；（3）CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣．

【解析】

（1）只要證明∠CBE＝90°，求出BE，BC利用勾股定理即可解決問題．

（2）分兩種情形畫出圖形分別求解即可．

（3）如圖3中，取AB的中點O，連接OP，CO．利用三角形的中位線定理可得OP＝ ，推出點P的運動軌跡是以O為圓心 為半徑的圓，由此即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，

∴AB＝2AC＝4，BC＝ ＝2，

∵CD⊥AB，

∴ ABCD＝ ACBC，

∴CD＝ ＝ ＝ ，

∴BD＝BE＝ ＝3，

∵∠ABE＝α＝60°，

∴∠CBE＝30°+60°＝90°，

∴CE＝ ＝ ＝．

（2span>）如圖2﹣1中，

∵A，F，E三點共線，

∴∠AEB＝90°，AE＝ ＝ ＝ ，

∴AF＝AE﹣EF＝﹣ ．

如圖2﹣2中，

當A，E，F共線時，∠AEB＝90°，AE＝ ＝ ＝，

∴AF＝AE+EF＝+．

綜上所述，AF的長為+或﹣．

（3）如圖3中，取AB的中點O，連接OP，CO．

∵AO＝OB，AP＝PF，

∴OP＝ BF＝BC＝，

∴點P的運動軌跡是以O為圓心為半徑的圓，

∵OC＝ AB＝2，

∴CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣．

故答案為：（1）CE＝ ；（2）AF的長為+或﹣；（3）CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣．