Question

【題目】如圖,已知線段 AC=4,線段BC繞點C旋轉,且BC=6,連結AB,以AB為邊作正方形ADEB,連結CD.

（1）若∠ACB=90°,則AB的值是____；

（2）線段CD長的最大值是____．

Answer 1

【答案】 6+

【解析】

（1）直接根據勾股定理求解即可；

（2）過點A作AE⊥AC，取AC=AE，連結BE．，先在等腰直角△ACE中求得CE的長，然后依據三角形的三邊關系可求得BE的取值范圍，最后依據SAS證明△CAD≌△EAB，由全等三角形的性質得到CD=BE，故此可求得CD的最大值．

（1）∵AC=4, BC=6, ∠ACB=90°,

∴AB=;

（2）如圖所示：過點A作AE⊥AC，取AC=AE，連結BE．

∵AC=AE=4，∠CAE=90°，

∴CE=4．

∵CE=4，BC=6，

∴6-4＜BE＜6+4,

∴當B、C、E共線時，BE取得最大值6+4.

∵∠DAB=∠CAE=90°，

∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB．

在△CAD和△EAB中

∵AC=AE,

∠CAD=∠EAB,

AD=AB，

∴△CAD≌△EAB,

∴CD=BE．

∴線段CD長的最大值是6+4．

故答案為：（1）；（2）6+4