Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC與BD為對角線，∠BCA＝∠BAD，過點A作AE∥BC交CD的延長線于點E．

(1)求證：EC＝AC；

(2)若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE＝8．

【解析】

（1）根據平行線的性質可得∠ACB＝∠EAC，從而得到∠EAD＝∠CAB，由等量代換得到∠ADE＝∠ABC，結合三角形的內角和得到∠E＝∠ACB＝∠EAC即可證明EC＝AC．
（2）設AE交⊙O于M，連接DM，作MH⊥DE于H．通過圓的性質以及角的等量代換得到MD＝ME＝BC＝10，解直角三角形求出EH即可解決問題．

（1）證明：∵BC∥AE，

∴∠ACB＝∠EAC，

∵∠ACB＝∠BAD，

∴∠EAC＝∠BAD，

∴∠EAD＝∠CAB．

∵∠ADE＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，

∴∠ADE＝∠ABC，

∵∠EAD＋∠ADE＋∠E＝180°，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，

∴EC＝AC．

（2）解：設AE交⊙O于點M，連接DM，過點M作MH⊥DE于點H，

∵∠EAD＝∠CAB，

∴，

∴DM＝BC＝10，

∵∠MDE＋∠MDC＝180°，∠MDC＋∠MAC＝180°，

∴∠MDE＝∠CAM，

∵∠E＝∠CAE，

∴∠E＝∠MDE，

∴MD＝ME＝10，

∵MH⊥DE，

∴EH＝DH，

∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E，

∴cos∠ADB＝cos∠E＝，

∴EH＝4，

∴DE＝2EH＝8．