Question

10．如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，點P從點A出發沿AB以3cm/s的速度向點B移動，一直到達點B為止；同時，點Q從點C出發沿CD以2cm/s的速度向點D移動．設運動的時間為t．
（1）當t=$\frac{8}{5}$或$\frac{24}{5}$時，P、Q兩點之間的距離是10cm？
（2）連PD，經過多長時間PD=PQ？

Answer 1

分析 （1）過點Q作QE⊥AB于點E，則四邊形BCQE為矩形，找出線段AP、CQ、PE的長度，根據勾股定理結合PQ=10即可得出關于t的一元二次方程，解之即可得出結論；
（2）在Rt△APD中利用勾股定理找出PD的長度，結合PD=PQ即可得出關于t的一元二次方程，解之即可得出結論．

解答 解：（1）過點Q作QE⊥AB于點E，則四邊形BCQE為矩形，如圖所示．
當運動時間為t秒時（0＜t＜$\frac{16}{3}$），AP=3t，CQ=2t，
∴PE=AB-AP-BE=AB-AP-CQ=16-5t．
在Rt△PEQ中，PE=16-5t，EQ=BC=6，
∴PQ²=PE²+EQ²=（16-5t）²+6²=10²，
解得：t₁=$\frac{8}{5}$或t₂=$\frac{24}{5}$．
故答案為：$\frac{8}{5}$或$\frac{24}{5}$．
（2）在Rt△APD中，AP=3t，AD=BC=6，
∴PD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{（3t）^{2}+{6}^{2}}$．
∵PD=PQ，PQ=$\sqrt{（16-5t）^{2}+{6}^{2}}$，
∴$\sqrt{（3t）^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{（16-5t）^{2}+{6}^{2}}$，即（3t）²=（16-5t）²，
解得：t₁=2或t₂=8（舍去）．
答：經過2秒PD=PQ．

點評 本題考查了一元二次方程的應用、列代數式以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）根據勾股定理結合PQ的長度列出關于t的一元二次方程；（2）根據勾股定理結合PD=PQ列出關于t的一元二次方程．