Question

【題目】如圖，在中，，以長為一邊作，，取中點，連、、．

求證：

當________時，是等邊三角形，并說明理由.

當時，若，取中點，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結論；

（2）證明A、B、C、D共圓，E是圓心，由圓周定理得出∠BEC=2∠CAB，∠AED=2∠DBA，得出∠BEC+∠AED=2×60°=120°，求出∠DEC=60°，即可；

（3）同證出，由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結論.

證明：∵∠ACB=∠ADB=90°，的中點，

∴DE=AB，CE=AB，

∴DE=CE；

當60°時，是等邊三角形，理由如下：

∵∠ACB=∠ADB=90°，

∴A、B、C、D共圓，E是圓心，

∴∠BEC=2∠CAB，∠AED=2∠DBA，

∴∠CAB+∠DBA=60°，

∴∠BEC+∠AED=2×60°=120°，

∴∠DEC=60°，

∵DE=CE，

∴△DEC是等邊三角形.

故答案為；

解：同得：，，

∵，

∴，

∴，

∵是的中點，

∴．