Question

9．如圖，正方形ABCD中，AB=8，AE=6，EF∥AB，連接BE，連接對角線AC交EF于G，交BE于O．
（1）如圖（1）所示，直接寫出△AOE相似的三角形，不需證明；
（2）求圖（1）中OG的長；
（3）如圖（2）所示，若點P是線段CG的中點，試判斷△EPB的形狀，并證明．

Answer 1

分析 （1）結論：△AOE∽△COB，由AE∥BC，即可證明△AOE∽△COB．
（2）首先證明△AEG是等腰直角三角形，求出AG，由EG∥AB，推出$\frac{AB}{EG}$=$\frac{OA}{OG}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，由此即可解決問題．
（3）結論：△EPB是等腰三角形．如圖2中，作PM⊥AD于M，MP的延長線交BC于N，只要證明△PME≌△BNP即可解決問題．

解答 解：（1）結論：△AOE∽△COB．
理由：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AE∥BC，
∴△AOE∽△COB．

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC平分∠DAB，
∴∠EAG=∠GAB=45°，
∵EG∥AB，
∴∠AGE=∠BAG=45°，∠AEG=90°，
∴∠EAG=∠EGA，
∴EA=EG=6，AG=6$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{EG}$=$\frac{OA}{OG}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
∴OG=$\frac{3}{7}$AG=$\frac{18\sqrt{2}}{7}$．

（3）結論：△EPB是等腰三角形．
理由：如圖2中，作PM⊥AD于M，MP的延長線交BC于N．
∵∠NMD=∠D=∠DCN=90°，
∴四邊形MDCN是矩形，
∴DM=CN，NM=DC，
同理可得EF=CD．DE=CF，
∵PG=PC，PN∥FG，
∴CN=FN，
∵∠NCP=∠CPN=45°，
∴PN=CN=FN=DM=EM，
∵NM=BC，PN=CN，
∴PM=BN，
在△PME和△BNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PM=BN}\\{∠PME=∠BNP}\\{EM=PN}\end{array}\right.$，
∴△PME≌△BNP，
∴PE=PB，
∴△PEB是等腰三角形．

點評 本題考查相似三角形綜合題、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．